¿POR QUÉ LETRAS EN MATEMÁTICA?

Sabemos de las dificultades que se les presenta a nuestros alumnos cuando comienzan a utilizar letras para representar números.

En relación con este tema, en los CBC de matemática para la secundaria: lenguaje gráfico y algebraico, la síntesis explicativa, expresa:

“El algebra representa números, conjuntos de números, cantidades y relaciones con letras y signos (símbolos) de una manera sistemática y útil para describir conexiones entre variables. La potencia de aplicación del algebra es evidente en la matemática misma y en otros campos de conocimiento (economía, ciencias naturales, ciencias sociales, diseño, etc.), pero por su nivel de abstracción  se hace necesario un trabajo de transición entre la aritmética y esta rama de la matemática…”

El algebra adquiere su verdadera significación en la resolución de problemas que no podrían ser resueltos con recursos de aritmética, o su tratamiento resultaría muy dificultoso. La utilización de símbolos permite generalizar propiedades y relaciones, posibilitando la construcción de modelos aplicables a fenómenos de distinta naturaleza.

Para ello es necesario el dominio de objetos matemáticos como ecuación e incógnita, función y variable, monomio y polinomio, …; es decir sustituir un tratamiento en el nivel numérico por un lenguaje específico que permite la manipulación de expresiones algebraicas.

El pasaje de la aritmética al algebra debe ser lento y gradual. Imaginémoslo como un puente que cruza un río e intentemos atravesarlo con cautela, tomando todas las precauciones para no caernos y ahogarnos.

Este puente ya ha sido cruzado por muchas personas interesadas en distintos campos del saber, pero a la humanidad le llevó mucho tiempo, siglos, avanzar por ese camino. Se cometieron errores. Hubo marchas y contramarchas, contradicciones, e incluso, momentos en los que se generó escepticismo entre los propios matemáticos. Pero en esto, precisamente, consiste el proceso de construir el álgebra.

Haciendo historia

Sirios, babilónicos y egipcios, desde el siglo XX a.C., conocían una matemática empírica (conjunto de reglas experimentales con las cuales contaban y medían). También mayas, aztecas e incas tenían sus sistemas de numeración con sus métodos y sus dispositivos de cálculo. Pero es difícil imaginar qué idea tenían, esas civilizaciones, de la matemática como creación mental de estructuras y razonamientos.

Sólo en el siglo VI a.C., en Grecia, con la escuela pitagórica, la matemática, que ya se había destacado por su carácter utilitario, pasa a ser inseparable de la filosofía, como actividad intelectual descubridora de relaciones y creadora de estructuras.

Posteriormente, el hecho de abstraer la matemática del mundo sensible obligó a crear cierto lenguaje y simbolismo especiales.

Al respecto, Tobias Dantzig señala tres etapas en el desarrollo del algebra: la retórica, la sincopada y la simbólica.

*La etapa retórica se caracteriza por expresar todo con palabras, no se utilizan símbolos. Ejemplo: “el producto de potencias de igual base cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores”.

En símbolos es : a².a³=a⁵

*La etapa sincopada es aquella en la cual ciertas palabras de uso frecuente se abrevian gradualmente hasta llegar, a veces, a olvidar su origen; de manera tal que los símbolos no tienen ninguna conexión evidente con la operación que ellos representan.

Un ejemplo de esto es la historia del signo menos (-), que en Europa meridional fue durante mucho tiempo expresado por la palabra completa minus, la cual se sustituyó por la letra m con una raya encima. Con el tiempo la letra fue desapareciendo y quedó sólo la raya que se transformó en el signo de la resta.

*La etapa simbólica se caracteriza por el uso de símbolos. El símbolo no es una mera formalidad, sino que es la verdadera esencia del algebra.

Las letras tienen una existencia independiente del objeto concreto al cual se suponen que representan. Es decir, el símbolo tiene un significado que va más allá del objeto simbolizado.

La matemática utiliza su propio código para representar números, conjunto de números, cantidades y relaciones con letras y signos. Este lenguaje tiene su propia sintaxis (convenios que rigen el uso de símbolos literales) que no siempre coincide con la del lenguaje numérico y no tenemos por qué suponer que el niño la descubrirá por sí mismo. Debemos enseñarlo. ¿cómo hacerlo?

Proponemos, ante todo, reflexionar sobre algunas cuestiones que se suponen obvias:

Cuando hablamos de un número a, aunque utilicemos un solo signo, éste puede designar un número de una, dos o más cifras, entero, fraccionario, positivo, negativo, irracional, etc. (2; 13; 5; 1/2; 45,33333; 1245…)

Si escribimos un número de dos dígitos, según las reglas de nuestro sistema decimal, el primero indica las decenas y el segundo las unidades, conformando un número. Por ejemplo: 23.

*Sin embargo, cuando usamos letras, si a representa un número y b otro, y las escribimos una a continuación de la otra ab, significa “a multiplicado por b”. El signo está implícito, y nuevamente a y b pueden tener más de un dígito.

Por ejemplo si a = 450;  b = 24;   ab = 10800

*Cuando escribimos un número y a continuación una letra (que, por supuesto, representa un número), por ejemplo:

2a que significa 2 multiplicado por a

¿por qué suponer que suponer que para el alumno es tan obvio como para nosotros, “ver” entre el 2 y la a un signo de multiplicar?

*En un cálculo del tipo: 3a + a = es muy frecuente encontrarse con la respuesta 3a ¿por qué? Porque, lo mismo que en el ejemplo anterior, el 1 (coeficiente del segundo término) está “oculto”.

Estas cuestiones no son tan obvias, puesto que, al usar letras, el alumno no puede poner en juego los mismos saberes que empleaba con los números pues estos conocimientos no se adaptan a la nueva situación.

Si tratamos de contener un poco nuestra ansiedad por “dar cuanto antes y los más rápido posible” los contenidos establecidos en los CBC y se tiene en cuenta el proceso histórico, el tiempo que llevó a la humanidad el paso de la aritmética al álgebra y, además, consideramos la etapa evolutiva de los alumnos, se obtendrán mejores aprendizajes.

COMUNICACIÓN A TRAVÉS DE LA MATEMÁTICA

La matemática, como todas las disciplinas, emplea un vocabulario, un leguaje específico que muchas veces se convierte en un obstáculo para su compresión.

“El lenguaje es un sistema de comunicación mediante el cual se

relacionan y entienden los individuos de una misma comunidad”

La comunicación, por medio del lenguaje, requiere: un emisor y un receptor, un mensaje, un referente y un código (sistema de signos utilizado y conocido tanto por el emisor como el receptor).

Esto es así parcialmente, ya que es una cuestión mayor compleja. Trataremos de entender qué nos pasa con el lenguaje, para luego reflexionar sobre algunas dificultades provenientes de su uso en el campo de la matemática.

Cuando entablamos una comunicación, emitimos un mensaje con el que tratamos de expresar ideas, sentimientos, deseo, a través de un lenguaje, es decir un conjunto de signos organizados de determinada manera.

En un signo podemos distinguir dos elementos: el significante y el significado. El primero es la forma del signo. El segundo es una elaboración mental, es el concepto que construimos, lo que no se ve. De modo que significante y significado en una complementación recíproca generan la puesta en escena (Barthes, Roland) de la significación.

El signo posibilita la emisión del mensaje. Las palabras, las señales de tránsito, los números, las notas musicales, entre otros, son signos. Así, el color rojo de un semáforo (significante) indica detenerse (significado), no porque esté en la naturaleza de dicho color ese significado, sino porque así lo hemos convenido, es decir le hemos otorgado un significado.

Un sistema de signos o código no es suficiente para que produzca la comunicación de un mensaje; debemos considerar, además, el marco cultural, el campo de experiencias y los saberes del emisor y del receptor, que permitirán la comprensión del mensaje pero también provocarán sobreentendidos y malos entendidos entre lo que quiso decir uno y lo que decodificó el otro.

Pues en ocasiones el emisor no puede transmitir exactamente sus ideas, pues la palabra no es el reflejo fiel del contenido o las vivencias a comunicar y esto ocurre, incluso, en el campo científico. A su vez el receptor tiende a interpretar el mensaje que le llega de acuerdo con sus propias ideas y convicciones. Esto nos lleva a percibir las limitaciones de la comunicación.

En el campo de la matemática, ¿con qué nos encontramos? con un sistema de signos que tiene la características propias. Un código, cuyo sistema de signos debe ser compartido por el emisor y el receptor para que la idea del primero llegue al segundo con la menor distorsión posible.

Terminología específica

En la secundaria, indudablemente, debemos emplear algunos términos precisos. Al respecto nos preguntamos:

¿Nuestros alumnos tienen de esas palabras el mismo referente que nosotros?

Frases tales como “común denominador”, “ángulos adyacentes”, “magnitudes directamente proporcionales”… ¿tienen el mismo significado para nosotros que para ellos?

Sin temor a equivocarnos, podemos decir que un gran porcentaje del alumnado repite frases hechas, sin saber exactamente de qué se trata, sin comprender su significado; algunos tienen la sensación de que se les está hablando en una lengua extraña.

El vocabulario específico de la matemática no es fácil de adquirir, pero tampoco es factible es factible de ser simplificado o modificado.

Por ejemplo, “mcm” y “dcm” (múltiplo común menor y divisor común mayor, respectivamente) son dos siglas que el alumno generalmente confunde. Memoriza palabras sueltas como “común”, “mayor”, “múltiplo”… y luego las repite en cualquier orden pues para él carecen del significado matemático correspondiente. Incluso utiliza indiscriminadamente las expresiones “mínimo común denominador”, “factor común” y “mínimo común múltiplo”.

Para facilitar la elaboración de los contenidos antes mencionados, es necesario que el docente recurra a estrategias que posibilitan al alumno:

*Relacionar el contenido de aprendizaje con la estructura de conocimiento que ya dispone, pues según sus saberes previos, puede darle a las palabras usadas significados distintos de los que tienen en matemática.

*Promover la reflexión acerca del procedimiento que da origen al nombre y al significado de cada una de las palabras en ese contexto.

*Permitir aislar el concepto de esa situación particular para utilizarlo, eventualmente.

Todo conocimiento requiere información; pero aprender no es reproducir la información recibida; es preciso asimilarla e integrarla con los conocimientos anteriores para adquirir nuevos significados o conceptos. Además, la comprensión de cualquier disciplina sólo es posible a través del manejo de su lenguaje instrumental.

Cada disciplina posee un lenguaje particular construido sobre la base de un sistema de signos y de reglas que le es propio.

Hay que saber leer, hablar y escribir en matemática para acceder a la disciplina matemática.    

Comprender y usar un concepto matemático, supone saber expresarlo en forma oral o escrita. Al alumno puede resultarle muy difícil aprender a expresarse matemáticamente con un lenguaje específico, pues tiene que sustituir el lenguaje cotidiano, por uno particular que designe los elementos básicos, las operaciones con ellos, sus cualidades o propiedades, los nuevos conceptos, etc.

El lenguaje usado en matemática, tan claro para los docentes, no siempre lo es para los alumnos. No se adquiere espontáneamente, ni de manera inmediata. Requiere que el sujeto realice una serie de acciones mentales como analizar, sintetizar, traducir, comprender. El docente debe planificar y proponer actividades que posibiliten al alumno poner en juego esas acciones.

Si no se tienen en cuenta todas estas cuestiones, el lenguaje puede convertirse en un obstáculo para la comprensión de los contenidos matemáticos. El alumno no puede decodificar correctamente el mensaje pues desconoce el código. Esto se traduce, a menudo, en una actitud de apatía, desinterés o inhibición. En ocasiones recurre a la repetición literal en un esfuerzo de memorización mecánica estéril, transformando así, un concepto en un conjunto de palabras sin significación.

EL APRENDIZAJE ES UNA TRAMA COMPLEJA

Existe una concepción del aprendizaje, muy arraigada en el ámbito escolar, de origen conductista. Esta visión supone que el aprendizaje es un proceso lineal, que tiene un comienzo y un fin; el alumno es pasivo, aunque realice diversas actividades, pues se establece un camino y un punto de llegada idénticos para todos. El docente considera que el niño aprendió si es capaz de reproducir aquello que le enseño. De allí la importancia de la ejercitación mecánica, de las tareas repetitivas, muy pautadas, que admiten una sola respuesta correcta.

De acuerdo con este modelo, comúnmente, se enseña primero el algoritmo de una operación y luego se aplica en problemas que no son más que un pretexto para seguir “haciendo cuentas”. Es como si la humanidad hubiese “creado” la suma y luego buscado situaciones concretas para aplicarla; cuando en realidad es exactamente al revés: la necesidad llevó a la búsqueda de posibles soluciones. Por ejemplo, los números racionales surgen en Egipto para solucionar algunos problemas causados por las inundaciones a raíz del crecimiento del río Nilo; los números negativos aparecen en el Renacimiento, como la necesidad para representar ciertos fenómenos naturales (temperatura bajo cero) o una forma práctica, para los comerciantes, de distinguir pérdidas de ganancias.

A la luz de las modernas teorías, esta concepción es muy limitada pues sólo es aplicable al aprendizaje de hechos y datos, es decir para incorporar información; pero resulta insuficiente para el aprendizaje  de conceptos, procedimientos y actitudes.

El aprendizaje es un proceso que incluye avances y retrocesos, con significados siempre perfectibles; en dicho proceso el sujeto pone en juego sus estructuras mentales, sus saberes previos, sus deseos, sus competencias sociales.

Por lo tanto, el aprendizaje es una trama compleja, con diversos aspectos a tener en cuenta. Desarrollamos dos de ellos que son de suma importancia.

      No es lo mismo una noción que un contenido curricular

Piaget señala dos tipos de desarrollo, el psicosocial, provocado por lo que el sujeto recibe del medio social; y el espontáneo que es el desarrollo de la inteligencia, lo que un sujeto aprenda o piense aunque no se le haya enseñando, es decir, descubra por sí mismo. A Piaget le interesó, fundamentalmente, investigar acerca del desarrollo espontáneo.

Sus investigaciones lo llevan a descubrir que el desarrollo de la lógica (de la inteligencia) lleva en sí la construcción de ciertas nociones que necesitan tiempo y se dan en un determinado orden.

El orden en que aparecen estas nociones, que es idéntico en todos los niños, aunque pueden variar las edades, le confirma a Piaget que estas ideas son producto de estructuras lógicas y no de la experiencia física o del contacto directo con los objetos. Así, por ejemplo, la noción de conservación de cantidad es previa a la noción de conservación del peso, y ésta a su vez, previa a la noción de conservación del volumen. La idea de conservación de cantidad de sustancia es la de la permanencia de algo de naturaleza física, pero el niño no puede llegar a medirla, puesto que aún no conserva peso ni volumen, ni tampoco es perceptible de manera directa. El niño descubre por sí mismo, sobre bases puramente lógicas, que una cantidad permanece idéntica, aunque cambie su forma, sin no se le agrega ni quita nada.

Por supuesto, no podemos olvidar que Piaget era interaccionista y por lo tanto, la influencia del medio siempre es valiosa, pero lo que queremos destacar es que una noción no se enseña, como sí debe hacerse en el caso de los contenidos curriculares; no podríamos saber que París es la capital de Francia, o qué es un sistema de coordenadas cartesianas, si alguien no nos lo hubiera enseñando.

      No todos los errores son “errores”

Desde una postura en la que el error estaba prohibido y se lo debía evitar o corregir, hemos pasado al otro extremo donde el error es glorificado y considerado, indiscutiblemente, como el posibilitador de aprendizaje.

El error es inevitable porque forma parte del proceso de construcción del conocimiento; pero es imprescindible distinguir cuándo el error es inherente a este proceso y cuándo es le resultado de dificultades propias del alumno.

Por esa razón es necesario “dividir aguas”, ya que existen distintos tipos de errores y nuestra actitud no puede ser la misma en todos los casos.

* Piaget denominó errores sistemáticos, a los que expresan los límites de lo que puede o no puede hacer un sujeto según las características de su organización intelectual. Por eso los alumnos se equivocan de la misma manera, ante las mismas situaciones, en edades similares, pues el error tiene que ver con la significación que le otorga a dicha situación según su estructura mental. Un ejemplo de esto son los errores que cometen los alumnos en la aplicación de los conceptos de volumen y peso específico debido a que son nociones más difíciles de lo que comúnmente se cree. Ante la clásica pregunta: “¿pesa lo mismo un kilo de plomo que un kilogramo de algodón?”, es muy común que s responda “no”, pues la idea de que a igualdad de peso pueda corresponder desigualdad de volúmenes (lo que significa diferencia en los pesos específicos) es una noción que lleva mucho tiempo construir.

Para que el sujeto supere este tipo de errores, es necesario que se produzca la evolución de su estructura mental, lo cual requerirá tiempo; pero esto tendrá que ser complementado con la presentación de variedad de actividades que provoquen el conflicto cognitivo y ayuden al alumno a construir las nuevas nociones.

* Otro tipo de errores son los originados por aplicar saberes anteriores, que son válidos en un determinado campo, a situaciones nuevas en las que no tienen validez, constituyéndose así en un obstáculo para el nuevo aprendizaje. Por ejemplo, los errores que aparecen al comenzar a utilizar el lenguaje algebraico, pues las reglas conocidas hasta el momento para el cálculo numérico, no son aplicables en el campo del algebra.

* Errores provocados por la confrontación de los saberes espontáneos con los conocimientos científicos. El conocimiento originado en los intercambios con los objetos de la vida cotidiana, está tan arraigado, es “tan útil”, “sirve para la vida”, que resulta muy difícil de cambiar y de resignificar. Se resiste a ser desalojado por un conocimiento científico porque las teorías del hacer cotidiano fueron construidas por el sujeto con su propio esfuerzo, tienen su origen en el contacto directo con el medio físico y social, son “evidentes” y le permiten “adaptarse” al medio; por lo tanto desvalorizar estos saberes, por parte de la escuela, puede representar para el alumno un rechazo de sí mismo.

La enseñanza de las ciencias presenta al alumno dificultades de orden cognitivo; la ciencia no proporciona una reproducción de la realidad, sino un modelo interno, que no se ve a simple vista y que en algunos casos va contra el sentido común. Esto plantea un problema muy serio (para el cual aún no hay respuesta) ya que en el aula el conocimiento puede funcionar de manera más o menos científica, pero ante una situación que se plantea fuera de la escuela, el sujeto recurre al conocimiento cotidiano.

*Es necesario, además, tener en cuenta lo que se podría denominar errores didácticos, es decir, aquellos que surgen como resultado de la propia intervención docente, del modo en que se propone las actividades, de los ejemplos que presenta, de las definiciones que adopta. Todo esto determina en gran medida el tipo de aprendizaje que realiza el alumno y las dificultades que se le puedan presentar.

La enseñanza de la matemática se reduce, en muchos casos, a la resolución de ejercicios carentes de toda significación, mediante supresión de paréntesis, sustitución de expresiones, inversiones, simplificaciones, pasaje de términos… Procedimientos realizados mecánicamente, sin que el alumno sepa por qué los hace. Esto conduce a errores que, generalmente son atribuidos a “dificultades de aprendizaje”.

La diversidad de errores, que surgen en los procesos de aprendizaje escolar, tendrán que ser tenidos en cuenta por el docente con el fin de determinar el modo de intervención más eficaz que ayude al alumno en la construcción de su aprendizaje.

Como decíamos anteriormente, el camino del aprendizaje no es lineal; por lo cual la tarea de enseñar es compleja y plantea cada vez más interrogantes, que en ocasiones nos angustian, pero que son valiosos porque el conocimiento surge a partir de una pregunta, de un cuestionamiento, de un problema.