¿POR QUÉ LETRAS EN MATEMÁTICA?

Sabemos de las dificultades que se les presenta a nuestros alumnos cuando comienzan a utilizar letras para representar números.

En relación con este tema, en los CBC de matemática para la secundaria: lenguaje gráfico y algebraico, la síntesis explicativa, expresa:

“El algebra representa números, conjuntos de números, cantidades y relaciones con letras y signos (símbolos) de una manera sistemática y útil para describir conexiones entre variables. La potencia de aplicación del algebra es evidente en la matemática misma y en otros campos de conocimiento (economía, ciencias naturales, ciencias sociales, diseño, etc.), pero por su nivel de abstracción  se hace necesario un trabajo de transición entre la aritmética y esta rama de la matemática…”

El algebra adquiere su verdadera significación en la resolución de problemas que no podrían ser resueltos con recursos de aritmética, o su tratamiento resultaría muy dificultoso. La utilización de símbolos permite generalizar propiedades y relaciones, posibilitando la construcción de modelos aplicables a fenómenos de distinta naturaleza.

Para ello es necesario el dominio de objetos matemáticos como ecuación e incógnita, función y variable, monomio y polinomio, …; es decir sustituir un tratamiento en el nivel numérico por un lenguaje específico que permite la manipulación de expresiones algebraicas.

El pasaje de la aritmética al algebra debe ser lento y gradual. Imaginémoslo como un puente que cruza un río e intentemos atravesarlo con cautela, tomando todas las precauciones para no caernos y ahogarnos.

Este puente ya ha sido cruzado por muchas personas interesadas en distintos campos del saber, pero a la humanidad le llevó mucho tiempo, siglos, avanzar por ese camino. Se cometieron errores. Hubo marchas y contramarchas, contradicciones, e incluso, momentos en los que se generó escepticismo entre los propios matemáticos. Pero en esto, precisamente, consiste el proceso de construir el álgebra.

Haciendo historia

Sirios, babilónicos y egipcios, desde el siglo XX a.C., conocían una matemática empírica (conjunto de reglas experimentales con las cuales contaban y medían). También mayas, aztecas e incas tenían sus sistemas de numeración con sus métodos y sus dispositivos de cálculo. Pero es difícil imaginar qué idea tenían, esas civilizaciones, de la matemática como creación mental de estructuras y razonamientos.

Sólo en el siglo VI a.C., en Grecia, con la escuela pitagórica, la matemática, que ya se había destacado por su carácter utilitario, pasa a ser inseparable de la filosofía, como actividad intelectual descubridora de relaciones y creadora de estructuras.

Posteriormente, el hecho de abstraer la matemática del mundo sensible obligó a crear cierto lenguaje y simbolismo especiales.

Al respecto, Tobias Dantzig señala tres etapas en el desarrollo del algebra: la retórica, la sincopada y la simbólica.

*La etapa retórica se caracteriza por expresar todo con palabras, no se utilizan símbolos. Ejemplo: “el producto de potencias de igual base cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores”.

En símbolos es : a².a³=a⁵

*La etapa sincopada es aquella en la cual ciertas palabras de uso frecuente se abrevian gradualmente hasta llegar, a veces, a olvidar su origen; de manera tal que los símbolos no tienen ninguna conexión evidente con la operación que ellos representan.

Un ejemplo de esto es la historia del signo menos (-), que en Europa meridional fue durante mucho tiempo expresado por la palabra completa minus, la cual se sustituyó por la letra m con una raya encima. Con el tiempo la letra fue desapareciendo y quedó sólo la raya que se transformó en el signo de la resta.

*La etapa simbólica se caracteriza por el uso de símbolos. El símbolo no es una mera formalidad, sino que es la verdadera esencia del algebra.

Las letras tienen una existencia independiente del objeto concreto al cual se suponen que representan. Es decir, el símbolo tiene un significado que va más allá del objeto simbolizado.

La matemática utiliza su propio código para representar números, conjunto de números, cantidades y relaciones con letras y signos. Este lenguaje tiene su propia sintaxis (convenios que rigen el uso de símbolos literales) que no siempre coincide con la del lenguaje numérico y no tenemos por qué suponer que el niño la descubrirá por sí mismo. Debemos enseñarlo. ¿cómo hacerlo?

Proponemos, ante todo, reflexionar sobre algunas cuestiones que se suponen obvias:

Cuando hablamos de un número a, aunque utilicemos un solo signo, éste puede designar un número de una, dos o más cifras, entero, fraccionario, positivo, negativo, irracional, etc. (2; 13; 5; 1/2; 45,33333; 1245…)

Si escribimos un número de dos dígitos, según las reglas de nuestro sistema decimal, el primero indica las decenas y el segundo las unidades, conformando un número. Por ejemplo: 23.

*Sin embargo, cuando usamos letras, si a representa un número y b otro, y las escribimos una a continuación de la otra ab, significa “a multiplicado por b”. El signo está implícito, y nuevamente a y b pueden tener más de un dígito.

Por ejemplo si a = 450;  b = 24;   ab = 10800

*Cuando escribimos un número y a continuación una letra (que, por supuesto, representa un número), por ejemplo:

2a que significa 2 multiplicado por a

¿por qué suponer que suponer que para el alumno es tan obvio como para nosotros, “ver” entre el 2 y la a un signo de multiplicar?

*En un cálculo del tipo: 3a + a = es muy frecuente encontrarse con la respuesta 3a ¿por qué? Porque, lo mismo que en el ejemplo anterior, el 1 (coeficiente del segundo término) está “oculto”.

Estas cuestiones no son tan obvias, puesto que, al usar letras, el alumno no puede poner en juego los mismos saberes que empleaba con los números pues estos conocimientos no se adaptan a la nueva situación.

Si tratamos de contener un poco nuestra ansiedad por “dar cuanto antes y los más rápido posible” los contenidos establecidos en los CBC y se tiene en cuenta el proceso histórico, el tiempo que llevó a la humanidad el paso de la aritmética al álgebra y, además, consideramos la etapa evolutiva de los alumnos, se obtendrán mejores aprendizajes.